唯像洁简、物格纷繁

无 题

世人多赞物格闲

未晓前程万万难

朗道功成凭对称

破缺之外更高山

1. 引子

自然科学酷爱简洁与纯粹之美，自古如此，而物理学尤其如此。看君随意在google 上搜索，可以读到很多The beauty of physics, the mathematical beauty of physics, the beauty in physics, the Feynman’s rainbows 等著作，虽然偶尔也有The beauty of chemistry。物理学所说的美在笔者看来有两个关键词：简洁！对称！并为此而无所不用其极。笔者当然远远达不到费曼和杨振宁先生那般深刻感悟，但要信手拈来几个简洁与对称的物理概念来，也并非难事。

不过，颂扬自然科学中简洁与对称之美，意在图像、意在思想、意在教化。而实际上，背后隐藏着难以言说的问题：自然界有比简洁对称多得多的不简洁与不对称，很多情况下我们并无多少手段去描述和处理。大学物理就有很多这样简单的例子，仅列三例：

(1)   胡克定律很简洁，它将应力与应变之间复杂的关系用一个系数表示，从而将全部复杂性都放到系数里面。

(2)   热学中，虽然热力学定律简洁对称，但热力学的基本物性关系却复杂无比。

(3)   麦克斯韦方程很美，有人认为它是最美的物理方程之一。但在应用到电磁介质中时，一切尽在不言中的东西都被归结到电极化率和磁极化率中。

胡克定律所使用的技巧已经成为一种哲学，对物理学影响深远。很多物理学中重要的方程都展示了简洁对称的意象，流体力学如此，固体中电极化、磁极化、力矢量的本构方程也如此。事实上，我们知道，科学界对每一类简洁和对称之美赞叹有加之余，却私下用功不止，试图将隐藏的复杂性梳理清楚。结果是，诸多分支学科的众多研究领域诞生开来，如固体力学、磁学、电介质物理学、工程热力学、非线性光学，如此等等。图1 的卡通表示了物理的简洁对称之美及这种美背后的血色黄昏。

图1. 物理学简洁与对称之美的艺术化表达，以Hook’s law、Thermodynamics formula 和Maxwell’s equations为 例来表述。

http://sprott.physics.wisc.edu/pickover/physics-devotional.html

其实，物理学对简洁与对称痴迷一般的嗜好，在各个二级、三级甚至更细致的分支领域中都能找到很多例证：先从上一级学科的某个简洁与对称的表述开始，然后娓娓道来其中不简洁和不对称之处，最后洋洋洒洒成为一个纷繁复杂的、低一级的分支学科。另一方面，很多分支领域好的物理工作则竭尽所能，将复杂的物理系统简洁化，环境极端条件、对象极高品质、约束及其苛刻，最后才达到“不要人说颜色好、只留清气满乾坤”，就为了验证上某个物理规律的简洁与对称。

好吧，这里，我们姑且去看一个“很小很小”的学科分支，以便坐井观天，看看物理是如何看似简洁对称、是如何实际复杂纷繁！阿门！

2. 相变

凝聚态中相变的概念现在进化得已非常深邃。当年朗道提出对称破缺和相变的唯像概念时，就像一汪唯美的清泉。那时候的他一定已经对“对称破缺”入木十分，而我们的理解却依然肤浅。这里笔者只是挂一漏万，用科普通俗的语言来诉说有序-无序相变的特定例子，严谨而全面的阐述既无必要也难做到。以温度T 为变量来看，从一个高对称(无序)相跨越相变点时，整个体系就一下子变到一低对称(有序)相，中间不会出现对称性过渡的区域。也就是说，对称性在相变处出现了突变。

从临界现象角度去理解，当体系从无序相靠近临界点g_c (T_c) 时，出现序参量(如磁矩M) 涨落，这种涨落形成长程协同关联(collective correlation)。关联长度按(T - T_c) 幂指数发散，在临界点处达到无穷大，整个体系在T_c 处进入有序态，如图2(a) 所示。如果从对称性变化角度去朴素理解，序参量涨落的无穷大尺度协同关联正是体系从高对称突变到低对称的内在表现。这是整体性质，不存在体系中某一区域呈高对称而另一区域是低对称的情况。

有序-无序相变具有美而和谐的物理，特别是在临界点附近，标度理论和重整化群理论能够将临界点附近序参量的变化定量描述到极其精确的程度。这可能就是菲利普• 安德森所说的衍生现象(emergent phenomena)。朗道的对称破缺也让我们拥有相变的武器，去刻画很多现象。相变与临界理论由此在我们脑海里留下了深刻的印迹：物理就是简洁而美的！

图2. 朗道的有序-无序相变及对应序参量Ψ 随变量g (这里是T) 的变化，这里g_c 是相变点或临界点。(a) 一般意义上的有序-无序相变，对称性在g_c 处突变，序参量由零变为非零。(b) 一类拓扑相变，在临界点g_c 处既无对称性突变也无非零序参量。

http://slideplayer.com/5039649/16/images/19/Classifications+of+continuous+phase+transitions.jpg

图3. 一个量子自旋系统在有序-无序相变进程中经历一系列vortex-antivortex 拓扑缺陷态，最终从低温有序态(铁磁态)过渡到高温完全无序态(顺磁态)。(A) 铁磁态跨过临界点时，有序态失稳，平移对称性消失，体系进入无序态(对平移对称性而言)。此时可能出现Kosterlitz-Thouless (KT) 相变，进入到成对的vortex-antivortex 区域(bound vortex-antivortex pairs) 和自由的vortex 和antivortex 区域(unbound vortex and antivortex)，并最终进入到无序顺磁态。图中橙色方块如果标记vortex，蓝色方块则标记antivortex。(B) vortex-antivortex 点阵，数字1 和-1 分别表示拓扑数。

(B) http://iopscience.iop.org/0953-8984/25/6/065501/downloadFigure/figure/cm445387f3

3. 磁性复杂性

不过，总还是有一些学者不那么服气(比如这里的贾春林老师)，要较真地问一问：在g_c 处发生相变真的就那么干净简洁？没有其它东西了？或者说，是否也如胡克和麦克斯韦那般将复杂性隐藏了？是有的，看起来的确有一些复杂性被隐藏起来！

为了说明这一点，以磁性系统为例来说明。图3 所示为二维量子自旋体系，姑且用XY 模型描述。体系低温下是满足空间平移对称的铁磁有序态。按照朗道图像，温度升高到临界点时，有序态将被无序顺磁态取代，对称性发生突变，序参量Ψ 如图2(a) 所示那般趋于零。

然而，实际情况并非如此！众所周知，在铁磁态和顺磁态之间可以出现KT 相变，形成vortex / antivortex 缺陷态。这些vortex / antivortex 现在被称之为实空间的拓扑缺陷。KT 相变及vortex 缺陷已经是凝聚态物理的标准概念，只不过因为“委身深山人不识”，不那么待见我等凡夫俗子。

对于vortex / antivortex 这样的KT 拓扑缺陷，通常的对称性破缺图像似乎不再适用。首先，在KT 相变点两侧，序参量Ψ 无变化，或就等于零。其次，KT 相变点两侧也不存在经典理论所认知的对称破缺。因此，这些缺陷的形成根源在这里变得模糊，对称破缺物理一下子就失去了简洁的内在：原来临界点附近还有这般复杂性和“猫腻”隐藏其中的。对KT 相变的描述并无经典相变那般简洁美丽，取而代之的经常是一些纷繁复杂(让人头疼)的理论，称之为复杂物理并不为过。当然，这样的结果就是新的分支领域诞生，如此这般没完没了！

事实上，如KT 相变这般形成某种“类拓扑缺陷态”并非异数，实际磁性体系中早就有了，只不过我们熟知的朗道理论“视而不见”。随便举几个例子：

1. 铁磁畴壁：朗道给出的基态是自旋排列满足平移对称的均一态，但有限体系的实际铁磁态由磁畴组成，畴间的畴壁就是一类拓扑缺陷。如图4(A) 所示。畴壁产生原因之一是体系边界处的退极化效应，也可能源于相变时低能激发。

2. 有限体系vortex 畴：如果是尺寸合适的限域体系，因为边界退极化效应，vortex 是基态，如图4(B) 所示。

3. Neel 畴壁：对一有限宽度的磁条，边界退极化效应限制自旋沿磁条长度方向排列，导致类似于Neel 型畴壁形成，如图4(C) 所示。

4. 涡旋畴壁：对一有限宽度的磁条，如果磁条宽度稍大一些，会形成类似于vortex 的畴壁，如图4(D) 所示。

5. 斯格明子：如果存在较大的DM 相互作用，则在合适的磁场或有效场作用下，会形成类似于斯格明子的局域拓扑缺陷，如图4(E) 所示。斯格明子有布洛赫型(磁矩平行于畴壁旋转)和奈尔型(磁矩垂直于畴壁旋转)。纳米尺度斯格明子能量上稳定，可被微弱电流高效驱动，在自旋电子学中有潜在应用前景。

由于其自身精细结构，这些拓扑缺陷往往呈现不同于畴体的物理性能。例如，单个纳米涡旋可通过施加磁场而转换方向。这些新的物性使得拓扑缺陷有望成为新的功能元素，在诸如纳米电子器件方面有一定应用前景。

图4. 实际磁性体系中的几种类拓扑缺陷态。(A) 铁磁畴壁；(B) 有限磁盘中的vortex 态，施加磁场后会转变为铁磁态；(C) 宽度很小的一根磁条中，左右两个铁磁畴磁矩相对而向，形成一类Neel 类畴壁；(D) 宽度稍大一些的一根磁条中，左右两个铁磁畴磁矩相对而向，畴壁处可能形成vortex 态，这里也展示出畴壁相图；(E) 典型的Bloch 型斯格明子(skyrmion) 态。

http://i1251.photobucket.com/albums/hh555/ufopolitics/MAGNETISM/DOMAIN_WALL_1_zpsxdmvtsls.jpg

http://www.riken.jp/lab-www/nanomag/research/vortices.jpg

https://physics.aps.org/assets/95a50302-3bb0-4b5a-8bc5-99a19ed093a0/e17_1.png

https://www.researchgate.net/profile/John_Unguris/publication/224542482

http://www.robaid.com/wp-content/gallery/tech/riken-skymions-1.jpg

4. 缺陷显摆

写到这里，笔下有点收不住，可适当拓展开去。实空间拓扑缺陷的例子当然并非自旋系统所独有，而是广泛存在于各个领域。事实上，从早期宇宙演化的宇宙弦假说到我们平时的生活，包括我们讨论的凝聚态物理，处处都有其身影。比如热带风暴气旋、水流中涡旋、海洋鱼类集群行为 (图5a) 等 [1]；比如非平衡活力物质体系中的垄田状和指纹三角拓扑缺陷结构 (图5b) [2]；再比如液晶或者晶体材料中的向错线和位错 (图5c)。

如此这般，这类缺陷已经是任何一个物理系统都可能具有的属性[3]，数学中也可以找到对应的描述(^_^)。任意一个函数的空间(变量空间)轮廓都有其内在的某种有序属性，任一点的值可以看成是衡量这种序的量，物理人称其为序参量。序参量可能具有的值构成了序参量空间，或者叫序参量场。如果这个函数是一个常数，即每一点的序参量都相同，这个有序介质就是均一的、平庸的。与此对应，这些均一、平庸的区域之间，将是一类具有某种拓扑的边界，称之为拓扑缺陷态。

如果用物理的语言稍微将这该死的数学概念具体化一点，就是如下描述：在一个N 维空间的有序介质中，如果序参量在某个点、线或面处发生奇异的变化，这些非均一的N - n (n = 1, …, N-1) 维元素就是所谓的拓扑缺陷 [4]。将这些奇异点组成的低维结构统称为反映体系空间异质性的拓扑缺陷态。

遗憾而令人疑惑的是，人类感兴趣的对象大多数情况下恰恰在序参量非均一的地方，就好像一片平静的湖面，最吸引人的往往是泛起的涟漪，虽然平静的湖面也不错。

图5. 经常看到的拓扑缺陷视觉形态或轮廓。(a) 海洋中鱼类组成的vortex？来自视觉中国ID：VCG21gic13486051；(b) 非平衡活力物质体系垄田状和指纹三角拓扑缺陷结构 [2]；(c) 有序畴结构中的缺陷态，包括向错、位错、晶界、畴界。

http://homepages.spa.umn.edu/~vinals/images/p1_51_ed.jpg

5. 铁电复杂性

磁性体系和铁电体系都属于铁性材料，它们有很多相似性，从唯像上看是这样，从对称性破缺意义上是这样，从有序-无序相变角度看也是这样。高温铁电无序相经历简洁的相变进程，到达低温下某个满足平移对称之类的有序相。可以预期，在铁电朗道相变物理简洁之美深处也一定蕴含了相当程度的复杂性。

对铁电材料，晶胞正、负电荷中心不重合，形成电偶极子。电偶极子从序参量角度看与磁矩类似，它在外电场作用下能够沿特定方向重新定向。同样，由于各种物理机制的介入，如退极化场、应变场、有限尺度效应、序参量耦合，也会形成不同类型的畴壁缺陷。不过，由于偶极子方向显著受限于晶体学对称性，铁电畴的方向大多数是特定的，例如四方相钛酸钡(BaTiO₃) 的180° 畴和90° 畴、三方相铁酸铋(BiFeO₃) 的109° 畴和71° 畴等。如此情况下，似乎铁电体系经历相变形成拓扑缺陷态要困难得多。在一方面表现为铁电拓扑缺陷研究比自旋拓扑缺陷研究要晚，另一方面也体现其更加珍贵和有价值。

然而，铁电相变的复杂性却同样触发很多拓扑缺陷态出现。事实上，2011 年贾春林老师等就看到在锆钛酸铅Pb(Zr_0.2Ti_0.8)O₃ (PZT)外延薄膜的180°畴壁处形成的通量闭合铁电畴，利用负球差成像技术(NSCI)可以直观展示电偶极子的连续转动(见图6 ) [5]。得益于电子显微学技术的发展，相关研究工作很多，例如近期还在超晶格薄膜PbTiO₃ / SrTiO₃ 中看到纳米涡旋(vortices) 阵列形成 [6]。

图6. PZT 薄膜180° 畴壁处的通量闭合铁电畴 [5]。

图7. (a) PbTiO₃ / SrTiO₃ 多层异质结构的HAADF像，插图为界面处的放大图像。(b) 单胞偶极子的矢量分布图，黄色标注区为PbTiO₃ 膜层。(c) 图(b) 中区域B 的放大偶极子分布图，显示偶极子波的形态。(d) 理论计算结果。

除了已经提及的畴壁和纳米涡旋，电偶极子还有没有更多形态的拓扑缺陷态？答案当然是肯定的，可见于近期的相关文献。这里，笔者较为详细地描述一个特定的实例 [7]，可见其中的丰富多彩。这也启示读者去探索更多的emergent  现象。工作由西安交通大学贾春林科学家工作室的路璐博士等人与合作者完成。

实验体系是高质量外延制备的PbTiO₃ / SrTiO₃ (PTO / STO)多层异质结构。其高角环形暗场(HAADF) 图像如图7(a) 所示，每一层厚度大约是10个单胞。第一周期PTO 膜层和STO 膜层之间的界面非常平整清晰。从第二周期开始，界面有些许起伏。对图像上每一个强度极大值进行二维高斯分布拟合，可以得到其所代表的原子柱的精确位置。有了这些数据，就可以计算出每个单胞的偶极子分布图，如图7(b) 所示。图中的箭头方向代表偶极子的方向，箭头的长度代表偶极子的大小。显然，具有较大数值的偶极子仅仅分布于铁电体PTO 膜层中。

图7(b) 用红色虚线框标出了偶极子形成的复杂结构，红色虚线区域B 的放大像显示于图7(c)。偶极子的方向严重偏离四方晶体结构所允许的[001] 方向，形成一种类似波动的构型，称之为偶极子波(dipole wave)。这与在超薄PZT薄膜中理论预测的结果几乎一致 [8]。为了进一步证实偶极子波是否能在PTO 中存在，可以尝试进行理论计算。计算的模型为STO 衬底[001] 外延生长的超薄PTO 薄膜，薄膜所受压应变为-0.6 %。计算结果见图7(d)，与实验结果很好吻合。这是一类新型的拓扑缺陷复杂结构，还包括偶极子向错 (dipole disclination) [7]。伴随着偶极子波，同时出现的还有“手性圆柱体”(蓝、红圆)，计算结果显示其中心单胞偶极子具有较大的垂直于纸面的分量。

如果对图7(b) 红色虚线区域C 的放大像进行分析，还可看到更为细致的结构，如图8(a) 所示。图中棕色区域标明了一处畴壁，畴壁的两侧偶极子分别指向上方和下方，形成尾对尾的模式。畴壁终结于图中红色圆圈标注的一点，而右侧区域偶极子由这一点向外发散，形成一个半圆。这种拓扑缺陷非常类似于磁性体系中观察到的180° 向错，但在铁电材料中还算是第一次看到。图8(b) 给出了相应的理论计算结果。这种偶极子向错在此类外延薄膜中并不罕见，很多区域都有观察到，同时还出现有偶极子方向相反的向心向错。

图8. (a) 图7(b) 中区域C 的放大偶极子分布图，显示偶极子向错的形态。(b) 理论计算结果。

更进一步，我们知道，铁电材料中的拓扑缺陷可受电场、应变和界面调控。这里的理论计算模型即为压应变状态下PTO 超薄外延膜，偶极子波的能量相对于顺电态为每个单胞 - 0.063 eV，处于基态，可由薄膜体系退火得到。若薄膜承受较大的压应变，偶极子将倾向于具有面外分量，畴壁多采用涡旋的形态。若薄膜处于更温和的压应变状态，偶极子多具有面内分量，畴壁将由涡旋转为偶极子波。这一压应变的范围在 -1 % 到0 之间。对同一体系进行淬火处理，可得到亚稳态的偶极子向错，其能量为每个单胞- 0.012 eV。

6. 展望

当然，铁电异质结中偶极子波和偶极子向错的实验观测作为特定实例，不过是揭示了铁电复杂的“类拓扑缺陷态”众多构型之一二。除一般的常规畴壁、涡旋畴、中心畴之外，偶极子波和偶极子向错属于更为“高阶”的实空间拓扑结构，具有从局域态向扩展态过渡的趋势，从而给铁电相变的复杂性带来更多的物理成分。事实上，如果比较一下磁性体系与铁电体系，会感觉到微观上很大的不同：(1) 起源上，前者源于电子自旋，后者源于晶格畸变。(2) 能量尺度上，自旋相互作用要弱于偶极子相互作用。(3) 微观结构上，铁电极化取向具有比自旋取向强得多的各向异性，因此前者简并度比后者要低。(4) 调控手段上，电场和应变场是极矢量，而磁场是轴矢量；电场可以很局域，且技术上很容易调控，而磁场局域性要困难很多。因此，铁电极化能够形成的拓扑结构将会更为丰富。

更为令人乐观的是，借助于定量电子显微技术和原子尺度模拟，现在已经可以对这些局域的实空间拓扑缺陷态的精细结构进行细致的观测表征，并由此理解其可能成因。西交大的贾春林老师和金属所的马秀良老师他们很善于此道。与此不同，对局域磁结构的精细成像目前依然缺乏有效技术手段，这一点也给探索铁电复杂性带来极大便利。因此，可以预期，接下来铁电体系中拓扑缺陷态的挖掘将会更有成效。

有关这一偶极子波和向错的详细描述，可见于贾春林老师团队与美国Arkansas大学及德国Juelich研究中心合作发表的题为“Topological defects with distinct dipole configurations in PbTiO₃ / SrTiO₃ multilayer films”的文章 (Phys. Rev. Lett. 120, 177601 (2018))。看君有意，可点击本文底部的“阅读原文”，御览详细的数据与讨论。

参考文献：

1. J. M. Yeomans, Playful topology. Nat. Mater. 13, 1004 (2014).

2. X. Q. Shi and Y. Q. Ma, Topological structure dynamics revealing collective evolution in active nematics. Nat. Commun. 4, 3013 (2013).

3. Jan Seidel, Topological structures in ferroic materials domain walls, vortices and skyrmions. Springer International Publishing (2016).

4. N. D. Mermin, The topological theory of defects in ordered media. Rev. Mod. Phys. 51, 591 (1979).

5. C. L. Jia (贾春林), K. W. Urban, M. Alexe, D. Hesse, I. Vrejoiu, Direct observation of continuous electric dipole rotation in flux-closure domains in ferroelectric Pb(Zr,Ti)O₃. Science 331, 1420 (2011).

6. A. K. Yadav, C. T. Nelson, S. L. Hsu, Z. Hong, J. D. Clarkson, C. M. Schlepüetz, A. R. Damodaran, P. Shafer, E.Arenholz, L. R. Dedon, D. Chen, A. Vishwanath, A. M. Minor, L. Q. Chen, J. F. Scott, L. W. Martin, R. Ramesh, Observation of polar vortices in oxide superlattices. Nature 530, 198 (2016).

7. L. Lu (路璐), Y. Nahas, M. Liu, H. C. Du, Z. J. Jiang, S. P. Ren, D. W. Wang, L. Jin, S. Prokhorenko, C. L. Jia (贾春林), L. Bellaiche, Topological defects with distinct dipole configurations in PbTiO₃ / SrTiO₃ multilayer films. Phys. Rev. Lett. 120, 177601 (2018).

8. D. Sichuga and L. Bellaiche, Epitaxial Pb(Zr, Ti)O₃ ultrathin films under open-circuit electrical boundary conditions. Phys. Rev. Lett. 106, 196102 (2011).

备注：封面图片来自于

https://www.fzu.cz/sites/default/files/images/gallery/obrazek1.png

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